正交函数组学习卡片
🔍
- 带权正交函数组
- 不同函数间内积为零，同一函数内积为非零常数
- 几何意义
- 类比向量的垂直性，连续函数的积分内积为零
- 关键作用
- 使法方程组的系数矩阵变为对角阵，大幅降低计算复杂度
🏆
- 计算简化
- 使系数矩阵对角化，求解过程极大简化
- 解决病态问题
- 能有效解决希尔伯特矩阵的病态问题
- 数值稳定性
- 提高数值计算的稳定性和精度
📊
- 生成方法
- 逐个递推生成，确保每个多项式与之前所有正交
- 常见类型
- 勒让德多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式
- 多项式优势
- 方便加减乘除运算，适合数值分析
🔢
- 性质
- 正交性、奇偶性、递推关系
- 图形特征
- 波浪形态，零点分布均匀
- 递推公式
- Pₙ₊₁(x) = [(2n+1)xPₙ(x) - nPₙ₋₁(x)]/(n+1)
🎯
- 定义
- Tₙ(x) = cos(n·arccos x)，权函数1/√(1-x²)
- 特征
- 波动范围固定在[-1,1]区间
- 应用
- 在最佳一致逼近中具有核心作用
- 零点分布
- 与余弦函数对应，在单位圆上均匀分布
📉
- 原理
- 正交多项式使法方程组变为对角阵
- 系数计算
- Aₖ = (f,φₖ)/(φₖ,φₖ)
- 示例
- eˣ在[-1,1]区间的三次逼近：计算内积得四个系数
- 结果
- 最终多项式为各系数乘以对应勒让德多项式之和
🔧
- 特点
- 内积计算为向量点乘，比连续情况简单
- 现推多项式
- 优于直接使用现成多项式，适应不同数据点
- 三步骤
- 1. 递推正交多项式
2. 计算内积
3. 求解系数
- 优势
- 易于编程实现，适合反复迭代和误差控制